Question

如圖，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A（4，m）在橢圓E上，且，點D（2，0）到直線F₁A的距離．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設點P位橢圓E上的任意一點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題意可得c的值和F₁、F₂的坐標，又因為可表示出AF₂、AF₁，再由sin∠AF₁F₂=可得到a，b的關系式，最后根據a²=b²+c²可求出a，b的值，確定橢圓方程．
（2）先設點p的坐標，根據其在橢圓上可得到其橫縱坐標的關系（用x表示y），然后表示出向量后進行數量積運算得到關于x的二次函數，再由x的取值范圍可確定的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵sin∠AF₁F₂=，DH=，DF₁=6，
又∵=0，
∴AF₂=，AF₁=2a-，
∴，則，
由a²=b²+c²，得
∴b²=48，a²=64∴橢圓方程為．

（2）設點P（x，y），則，即
∵，
∴==
∵-8≤x≤8，∴的取值范圍是[36，72]．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和向量的數量積運算．屬基礎題．