Question

（本小題滿分12分）
在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N分別為BB₁、
A₁C₁的中點.
（1）求證：CB₁⊥平面ABC₁；
（2）求證：MN//平面ABC₁.

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1）根據直三棱柱的性質，利用面面垂直性質定理證出平面，得出．正方形中，對角線，由線面垂直的判定定理可證出平面；（2）取的中點，連，利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質，證出且，從而得到是平行四邊形，可得，結合線面平行判定定理即可證出面．
解：（1）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
側面BB₁C₁C⊥底面ABC，且側面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C_­1  　　　　　　 　　      2分
∵CB₁平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁.　　　     4分
∵，，∴是正方形，
∴，∴CB₁⊥平面ABC₁.       6分
（2）取AC₁的中點F，連BF、NF.       7分
在△AA₁C₁中，N、F是中點，∴NFAA₁，又∵BMAA₁，∴EFBM，   8分
故四邊形BMNF是平行四邊形，∴MN//BF，    10分
而EF面ABC₁，MN平面ABC₁，∴MN//面ABC₁ 12分