Question

某先生居住在城鎮的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如如圖所示．（例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為

1

10

，路段CD發生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數為隨機變量X，求X的概率分布．

Answer 1

（1）記路段MN發生堵車事件為MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因為各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）
=1-P（

.

AC

）P（

.

CD

）P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

；
同理，路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

239

800

（小于

3

10

）；
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為
1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

91

300

（大于

3

10

）．
顯然要使得由A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發生堵車事件的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數X可取值為0，1，2，3．
P（X=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

561

800

，
P（X=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•FB）
=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（X=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（X=3）=P（AC•CF•FB）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴X的概率分布為