Question

如右圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(1)求三棱錐E—PAD的體積；

(2)當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；

(3)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.

 

Answer 1

【答案】

(1)三棱錐E—PAD的體積

V＝PA·S_△ADE＝PA·＝.

(2)當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．

∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，

∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC.

(3)證明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴EB⊥PA，

又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥EB，

又PA＝AB＝1，點F是PB中點，

∴AF⊥PB又∵PB∩BE＝B，

PB，BE⊂面PBE，

∴AF⊥面PBE，

∵PE⊂面PBE，∴PE⊥AF.

【解析】略