Question

已知向量

a

=(x+3，-k)，

b

=(x，x+3)，且函數f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥0 在區間[1，+∞）上恒成立，求實數 k的取值范圍；
（II）若k∈R，記函數g(x)=

f(x)

，試探析函數g（x）的定義域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=（x+3）（x-k），由（x+3）（x-k）≥0在區間[1，+∞）上恒成立，可得k的取值范圍．
（II）由函數g(x)=

f(x)

=

(x+3)(x-k)

，可得（x+3）（x-k）≥0，分k＞-3、k＜-3、k=-3三種情況，分別求出不等式的解集，即可求出函數g（x）的定義域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=x（x+3）-k（x+3）=（x+3）（x-k），不等式f（x）≥0 在區間[1，+∞）上恒成立，
∴（x+3）（x-k）≥0在區間[1，+∞）上恒成立，∴k≤1．
  （II）∵函數g(x)=

f(x)

=

(x+3)(x-k)

，
∴（x+3）（x-k）≥0．
當k＞-3時，可得函數g（x）的定義域為 {x|-3≤x≤k}；
當k＜-3時，可得函數g（x）的定義域為 {x|k≤x≤-3}；
當k=-3時，（x+3）（x-k）=（x+3）²≥0 恒成立，故定義域為R．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，一元二次不等式的解法，函數的恒成立問題，求函數的定義域，屬于中檔題．