Question

已知函數f（x）=e^x+4x-3．
（Ⅰ）求證函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的零點，并用二分法求函數f（x）零點的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.25≈1.3，e^0.375≈1.45）；
（Ⅱ）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥ax恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：對第（Ⅰ）問要先根據題意判斷函數在相應區間上的單調性，再有端點的函數值對比即可獲得解的唯一性，然后再根據二分法的步驟逐次進行范圍縮小，再結合所給信息即可獲得問題的解答；
對第（Ⅱ）首先將恒成立問題游離參數，轉化為求函數g(x)=

ex+4x-3

x

的最小值問題即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+4x-3，得f′（x）=e^x+4＞0，
f（x）在[0，1]上單調遞增，
∵f（0）=-2，f（1）=e+1＞0，f（0）•f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零點，
取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算如下

由上表可知區間[0.25，0.5]的長度為0.25，所以該區間的中點x₂=0.375，到區間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個零點的近似值．
∴函數f（x）零點的近似值x≈0.375
（Ⅱ）當x≥1時，由f（x）≥ax，即a≤

ex+4x-3

x

，
令g(x)=

ex+4x-3

x

則g′(x)=

ex(x-1)+3

x2

∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=e+1，
∴a的取值范圍是a≤e+1．

點評：此題考查的是二分法求方程的近似解和恒成立的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了數形結合的思想、二分法的思想、恒成立的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．