Question

（09年湖南十二校文）(13分)

  設函數   （＞0）

（Ⅰ）若在時，有極值，求的單調區間。

（Ⅱ）證明：的圖像上存在著與直線垂直的切線。

（Ⅲ）若在處取得極值，且，求b的取值范圍。

Answer 1

 解析：（Ⅰ）

由題意可知   即               ……………1分

解得 舍去）              ………………2分

此時，                                             

令＞0得＞1或＜1

＜0得  1＜＜1                        ………………………3分

所以的遞增區間為（∞，1）、（1，+∞）

           遞減區間為（1，1）                ………………………4分

（Ⅱ）證明：①當時，直線，則圖像上與垂直的切線斜率為0.

令＞0恒成立，方程有解。    …………5分

②當時，直線的斜率為，則與垂直的切線斜率為

令即 

 ＞0恒成立，方程有解。

綜上所述：的圖像上存在著與垂直的直線。       ……………7分

（Ⅲ）由題意可知，為的兩根

    ………8分

從而         ……………………………9分

由得 0＜         …………………………………10分

設

令則        ……………………………………11分

故在遞增，遞減， 從而在上的極大值為

即最大值為，且最小值為0，則

所以b的取值范圍為            …………………………13分