Question

設函數.

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）當時，求的單調區間；

（Ⅲ）若對任意及，恒有

成立，求的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.

當時， ，.

令，解得.……2分

當時，；當時， .

又，所以的極小值為，無極大值 .………4分

（Ⅱ）…………5分

當時，，  令，得或，令，

得；…………6分，當時，得，令，得或，令，得；當時，.8分

綜上所述，當時，的遞減區間為；遞增區間為.

當時，在單調遞減.

當時，的遞減區間為；遞增區間為.…（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，在單調遞減.

當時，取最大值；當時，取最小值.

所以

.……11分

因為恒成立，

所以，整理得.

又 所以，   又因為 ，得，

所以所以 .………14分

上式也可以化為：恒成立，利用一次函數求m的范圍.