Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，∠ABC= ，E，F分別是BC，A1C的中點．
（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；
（2）點M在線段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，

所以A1A⊥平面ABCD．

又AE平面ABCD，AD平面ABCD，

所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．

在菱形ABCD中∠ABC= ，則△ABC是等邊三角形．

因為E是BC中點，所以BC⊥AE．

因為BC∥AD，所以AE⊥AD．

建立空間直角坐標系．則A（0，0，0），C（ ，1，0），D（0，2，0），

A1（0，0，2），E（ ，0，0），F（ ， ，1）．

=（0，2，0）， =（﹣ ， ，1），

所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為 =

（2）解：設M（x，y，z），由于點M在線段A1D上，且 =λ，

則（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．

則M（0，2λ，2﹣2λ）， =（﹣ ，2λ﹣1，2﹣2λ）．

設平面AEF的法向量為 =（x0，y0，z0）．

因為 =（ ，0，0）， =（ ， ，1），

由 ，得x0=0， y0+z0=0．

取y0=2，則z0=﹣1，

則平面AEF的一個法向量為n=（0，2，﹣1）

由于CM∥平面AEF，則 =0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ= ．

【解析】（1）建立坐標系，求出直線的向量坐標，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點M在線段A1D上， =λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求實數λ的值．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面平行的性質是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．