Question

函數f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）當a=2時，求函數f（x）的定義域；
（2）是否存在實數a，使函數f（x）在[1，2]遞減，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當a=2時，f（x）=log₂（3-2x）
∴3-2x＞0
解得
即函數f（x）的定義域（-）
（2）假設存在滿足條件的a，
∵a＞0且a≠1，令t=3-ax，則t=3-ax為單調遞減的函數
由復合函數的單調性可知，y=log_at在定義域上單調遞增，且t=3-ax＞0在[1，2]上恒成立
∴a＞1且由題可得f（1）=1，3-2a＞0，
∴log_a（3-a）=1，2a＜3
∴3-a=a，且a
故a的值不存在
分析：（1）由題意可得，3-2x＞0，解不等式可求函數f（x）的定義域
（2）假設存在滿足條件的a，由a＞0且a≠1可知函數t=3-ax為單調遞減的函數，則由復合函數的單調性可知，y=log_at在定義域上單調遞增，且t=3-ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，從而可求a的范圍
點評：本題主要考查了對數函數定義域的求解，對數函數與一次函數復合而成的復合函數的單調性的應用，解題中要注意，不要漏掉真數t=3-ax＞0的要求