Question

求證兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一個平面內．

Answer 1

【答案】分析：解決此題，先要畫出圖形，前三條線只能畫成“兩兩相交，且不交于同一點”，這樣才能保證第四條線與前三條全相交，這樣的話圖形一共可以分為兩類．然后，我們可以根據推論1或者推論2，先把平面確定好，然后再根據公理1，進一步證明其余的直線也在這個平面里．
解答：證明：第一種情形（如圖1）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄沒有三條直線過同一點，
這時它們共有六個交點A、B、C、D、E、F，它們各不相同，
因直線l₁，l₂相交于點A，可決定一平面α；
因點B、C、D、E均在平面α內，
所以直線l₃，l₄也在平面α內，
故直線l₁，l₂，l₃，l₄同在平面α內．

第二種情形（如圖2）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄中有三條，
例如l₁，l₂，l₃，過同一點A，
因直線l₄不過點A，
故由點A及直線l₄可決定一平面α，
因直線l₄與直線l₁，l₂，l₃，相交，
設交點為B、C、D，
則點B、C、D在直線l₄上，從而在平面α內，
因此，直線l₁，l₂，l₃，各有兩點在平面α內，
即這三條直線在平面α內，
故四直線l₁，l₂，l₃，l₄在同一平內．
點評：此題難度系數不大，關鍵在于畫對圖形．重點考查了推論1、2與公理1，這些都是很簡單的道理，但是能夠運用起來，卻不是那么容易，做題時不要煩躁，理清線條，定理運用其實很簡單!