Question

【題目】如圖，在多面體中， 平面，直線與平面所成的角為30°，為的中點.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）60°

【解析】分析：

(Ⅰ)由BD⊥平面ABC得BD⊥AC，上AC⊥AB，得AC⊥平面ABDE，從而知∠CDA是直線CD與平面ABDE所成的角為30°，這樣可求得AC與BC的關系從而確定是等腰直角三角形，于是取BC中點為O，有AO⊥BC，因此可證AO⊥平面CBD，又可證AOME是平行四邊形，即得AO//EM，于是有EM⊥平面BCD，最終可證得面面垂直；

(Ⅱ) 以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，不妨設,寫出各點坐標，然后求出平面BCE和平面BEM的法向量，利用向量法可求得二面角.

詳解：

(Ⅰ)連接，取的中點為，連接.

因為平面平面，所以，

又,所以平面，

則為直線與平面所成的角，即.

所以,

所以是等腰直角三角形，則，

又平面,所以，所以平面.

又分別是的中點，所以又，所以 ,

故四邊形是平行四邊形,所以,

所以平面,又平面，所以平面平面.

(Ⅱ)以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，不妨設,

則,

所以.

設平面 的法向量為,則，即,解得,

令，得；

設平面的法向量為，則,即,解得,

令，得；

所以,

所以二面角的大小為60°.