Question

設，曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2) 若，恒成立，求的范圍.
(3)求證：

Answer 1

(1) 0. (2)  .
(3) 結合（2）時,成立.令
得到，

  
累加可得.

解析試題分析：(1)求導數，并由得到的值; (2)恒成立問題，往往轉化成求函數的最值問題.本題中設，即轉化成.利用導數研究函數的最值可得.
(3) 結合（2）時,成立.令得到，

  
累加可得.
試題解析：(1)            2分
由題設，
，.                    4分
(2) ,，，即
設，即.
                   6分
①若，，這與題設矛盾.         8分
②若方程的判別式
當，即時，.在上單調遞減，
，即不等式成立.                                            9分
當時，方程，其根，，
當,單調遞增，，與題設矛盾.
綜上所述， .                              10分
(3) 由(2)知,當時, 時,成立.
不妨令
所以，
           11分
             12分
累加可得

            14分
考點：導數的幾何意義，利用導數研究函數的性質，利用導數證明不等式.