Question

與雙曲線2x²-2y²=1有相同的焦點，且離心率互為倒數的橢圓的方程為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，算出雙曲線的焦點在x軸上，半焦距c=1且離心率e=

2

．設橢圓的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)，由橢圓與雙曲線有相同焦點且離心率互為倒數，建立關于m、n的方程組，解之即可得出所求橢圓的方程．

解答：解：雙曲線2x²-2y²=1化成標準形式，得

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，
∴雙曲線焦點在x軸上，且a²=b²=

1

2

，可得c²=

1

2

+

1

2

=1，離心率e=

c

a

=

2

．
∵橢圓的焦點與雙曲線2x²-2y²=1相同，離心率與雙曲線2x²-2y²=1互為倒數，
∴設橢圓的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)，
可得

m2-n2=1 1 m = 2 2

，解之得m=

2

，n=1，因此所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
故答案為：

x2

2

+y2=1

點評：本題給出橢圓與已知雙曲線有相同的焦點，且離心率與雙曲線互為倒數，求橢圓的方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．