Question

【題目】已知函數f(x)＝的圖像在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，

(1)求函數y＝f(x)的解析式；

(2)求函數y＝f(x)的單調區間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間是(3－2，3＋2)；單調遞減區間是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先求出函數導數，由切線斜率得在點x=-1的斜率，再由f(－1)＝－2帶入函數即可求解析式；

（2）令導數大于0得增區間，令導數小于0得減區間.

試題解析：

(1)由函數f(x)的圖像在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，

知f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，

即f(－1)＝－2，＝－2，①

又f′(x)＝，

所以＝－.②

由①②得a＝2，b＝3.

(因為b＋1≠0, 所以b＝－1舍去)

所以所求函數解析式是f(x)＝.

(2)由(1)可得f′(x)＝.

令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，

則當x<3－2或x>3＋2時，f′(x)<0，

當3－2<x<3＋2時，f′(x)>0，

所以f(x)＝的單調遞增區間是(3－2，3＋2)；

單調遞減區間是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．