Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）?（n∈N^*），如果對k（k∈N^*），滿足f（1）•f（2）…f（k）為整數，則稱k為“好數”，那么區間[1，2008]內所有“好數”的和M=

 

．

Answer 1

分析：分析題設條件，得到k=2ⁿ-2，由2ⁿ-2≤2008，解得1≤n≤10．由此能夠求出區間[1，2008]內所有“好數”的和M．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2）?（n∈N^*），
∴f（1）•f（2）=log₂3•log₃4=log₂4=2，
f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）
=log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7•log₇8
=log₂8=3，
…
由題設知k=2ⁿ-2，
由2ⁿ-2≤2008，解得1≤n≤10，
∴M=

2(1-210)

1-2

=2006．
故答案為：2026

點評：本題考查對數的運算法則，解題時要認真審題，找到規律，注意等比數列前n項和公式的靈活運用．