Question

已知函數，．
（1）若直線恰好為曲線的切線時，求實數的值；
（2）當，時（其中無理數），恒成立，試確定實數的取值范圍．

Answer 1

（1）.（2）實數的取值范圍是[．

試題分析：（1）切點處的導函數值，為切線的斜率.因此，設切點為，可得，即，
由（1）解得或.分別代人（2）討論得到.
（2）由得：（4），
可化為：；
只需討論確定，，，的最大值.
試題解析：（1）設切點為，由題意得：
，即，
由（1）解得或.（4分）
將代入（2）得：.
將代入（2）得：（3），
設，則，
所以在（0,2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，，所以方程（3）無實數解。（6分）所以，.
（2）由得：（4），
由知：在（0,1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以,的最小值為，
所以不等式（4）可化為：；（8分）
設，，，

當，時，，所以；
當，1）時，，所以；
所以在上單調遞減，在[1，]上單調遞增,
所以，又，，
，又，所以，
所以，，
所以，當，時，恒成立時實數的取值范圍是[．（13分）
備注：解答題的其它解法可相應給分。