Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
則函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，
由y=-x²+2ax在（a，+∞）上為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

為單調(diào)函數(shù)時(shí)只能是減函數(shù)，
此時(shí)a＜0，
故函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)時(shí)，a≥0，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[0，+∞），
故答案為：[0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，是解答的關(guān)鍵．