Question

設函數f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函數f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當點（x，y）是y=f（x）圖象上的點時，點(

x

3

，

y

2

)是函數y=g（x）上的點，求函數y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當g(

kx

3

)-f（x）≥0時，求x的取值范圍（其中k是常數，且k≥

3

2

）．

Answer 1

分析：第一問可以利用互為反函數的兩個函數圖象關于y=x對稱進行求解．
第二問可根據點（x，y）是y=f（x）圖象上的點時，點(

x

3

，

y

2

)是函數y=g（x）上的點再結合第一問可列兩個式y=f（x）=log₂（x+1），

y

2

=g(

x

3

)然后利用換元求解．
第三問在（1）（2）的條件下代入求解含參不等式，注意對根的大小進行分類討論．

解答：解：（1）由題意知f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個交點為（0，0），（1，1）
∴函數f（x）=log_a（x+b）過（0，0），（1，1）兩點
∴

logab=0 loga(1+b)=1

即b=1，a=2
∴f（x）=log₂^（x+1）
（2）∵點（x，y）是y=f（x）圖象上的點
∴y=f（x）=log₂^（x+1）
∵點(

x

3

，

y

2

)是函數y=g（x）上的點
∴

y

2

=g（

x

3

）嗎
∴

log2(x+1)

2

=g（

x

3

）
用3x代x：g（x）=

log2(3x+1)

2

（3）∵g(

kx

3

)-f（x）≥0
∴log₂^（kx+1）-2log₂^（x+1）≥0
∴

kx+1 (x+1)2 ≥ 1 x+1＞0

且kx+1＞0且k≥

3

2

∴當

3

2

≤k≤2時   k-2≤x≤0
  當 k＞2時  0≤x≤k-2

點評：此題的綜合性較強，層層遞進，環環相扣．第二問考查了換元法求解析式，第三問考查了用分類討論的思想接一元二次不等式．