Question

設函數的定義域是，對于任意的，有，且當時，.
（1）求的值；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）用函數單調性的定義證明函數為增函數；
（4）若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）奇函數；（3）詳見解析；（4）.

試題分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先說明函數的定義域關于原點對稱，然后令得到，然后可化成，可判斷函數為奇函數；（3）設，則，所以，從而利用單調性的定義證出函數在上為增函數；（4）先將不等式轉化成，再由函數的單調遞增性，又轉化為，再分離參數得不等式，該不等式恒成立等價于，求出的最小值即可求出的取值范圍.
試題解析：（1）取得，    2分
(2)函數為奇函數，理由如下：已知函數的定義域為
取代入，得，又，則
即為奇函數    5分
（3）證明：設且，則
由知，，則
則函數為上的增函數    9分
（4）由恒成立，又即為奇函數
得：恒成立。又函數為R上的增函數
得恒成立    11分
即恒成立
設：
令，則，即，知時，
則，即實數的取值范圍為    14分.