Question

已知函數(shù)，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點(diǎn)A（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，求|AP|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）=1，f（-2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得關(guān)于a，b的
（2）由（1）可知，利用兩點(diǎn)間的距離個(gè)公式代入，結(jié)合x(chóng)的范圍可求x+1=t＜0，然后結(jié)合基本不等式式即可求解
（3）問(wèn)題即為對(duì)x∈[1，2]恒成立，即對(duì)x∈[1，2]恒成立，則0＜m＜1或m＞2．
法一：?jiǎn)栴}化為對(duì)x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m對(duì)x∈[1，2]恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解
法二：?jiǎn)栴}即為對(duì)x∈[1，2]恒成立，即對(duì)x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x-m|≤m對(duì)x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x-m|，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得
解得：（3分）
（2）由（1），
所以，
令x+1=t，t＜0，
則
=
因?yàn)閤＜-1，所以t＜0，
所以，當(dāng)，
所以，（8分）
即AP的最小值是，此時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是．（9分）
（3）問(wèn)題即為對(duì)x∈[1，2]恒成立，
也就是對(duì)x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使問(wèn)題有意義，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，問(wèn)題化為對(duì)x∈[1，2]恒成立，
即對(duì)x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m對(duì)x∈[1，2]恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，或m＞2，
②當(dāng)x≠1時(shí)，且對(duì)x∈（1，2]恒成立，
對(duì)于對(duì)x∈（1，2]恒成立，等價(jià)于，
令t=x+1，x∈（1，2]，則x=t-1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]遞增，
∴，，結(jié)合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
對(duì)于對(duì)x∈（1，2]恒成立，等價(jià)于
令t=x-1，x∈（1，2]，則x=t+1，t∈（0，1]，
，t∈（0，1]遞減，
∴，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
綜上：2＜m≤4（16分）
法二：?jiǎn)栴}即為對(duì)x∈[1，2]恒成立，
也就是對(duì)x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使問(wèn)題有意義，0＜m＜1或m＞2．
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x-m|≤m對(duì)x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1時(shí)，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x²-mx，g（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增，
依題意g（2）≤m，，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，
考慮到，再分兩種情形：
（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，
依題意，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
綜上可得，2＜m≤4（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，及基本不等式在求解函數(shù)的 值域中的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值求解中的綜合應(yīng)用．