Question

【題目】如圖，設是平面內相交成角的兩條數軸 ，分別是軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標，假設.

（1）計算的大小；

（2）設向量，若與共線，求實數的值；

（3）是否存在實數，使得與向量垂直，若存在求出的值，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）先計算出的值，再根據公式，求出；

（2），由已知與共線，根據向量共線的條件，可以得到等式，再根據平面向量基本定理，得到一個二元一次方程組，解這個方程組，可求出實數的值；

（3）假設存在實數，使得與向量垂直，則有：，根據平面向量數量積的運算公式，可以得到一個關于的方程，如果能解出方程，就說明存在，如果方程沒有實數根，就說明不存在.

（1） ，

所以

；

（2）若與共線，則存在實數使得

即，由平面向量基本定理得：

，解得

所以實數的值

（3）假設存在實數，使得與向量垂直，則有：

即

，得

所以，存在實數， 使得與向量垂直.