Question

已知函數f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）當a=3時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）當a=3時，不等式f（x）≥2?|2x-3|+|x-1|≥2，通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得原不等式的解集；
（2）f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5?|2x-a|≥5-x，通過對x＞5與x≤5的討論，結合題意，即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=3時，由不等式f（x）≥2得：|2x-3|+|x-1|≥2，
∴當x＜1時，3-2x+1-x≥2，解得x≤

2

3

；
當1≤x≤

3

2

時，3-2x+x-1≥2，解得x≤0，與1≤x≤

3

2

的交集為∅；
當x≥

3

2

時，2x-3+x-1≥2，解得x≥2．
∴當a=3時，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≤

2

3

或x≥2}；
（2）∵f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5，
∴|2x-a|≥5-x．
當x＞5時，5-x＜0，原不等式恒成立，∴a∈R；
當x≤5時，x-5≤a-2x≤5-x，即3x-5≤a≤x+5，
∵x+5≤10，
∴a≤10，又?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，
∴實數a的取值范圍為（-∞，10]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于難題．