Question

設f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，則對任意實數a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的

 

條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）

Answer 1

分析：已知函數f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，根據f（x）=-f（x）可知它是奇函數，然后由題意看命題“a+b≥0”與命題f（a）+f（b）≥0”是否能互推，然后根據必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷．

解答：解：∵f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，
∴f（-x）=-x³+lg（-x+

(-x)2+1

）=-（x³+lg(x+

x2+1

)）=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
∵f′（x）=3x²+

lge

x+ x2+1

(1+

x

x2+1

)=3x²+lge（

1

x2+1

）＞0，
∴f（x）為增函數，
∵a+b≥0，?a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），
∴f（a）≥-f（b），
∴f（a）+f（b）≥0，
反之也成立，
∴“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要條件，
故答案為充要條件．

點評：此題主要考查利用函數的導數判斷函數的單調性，還考查了必要條件、充分條件和充要條件的定義，是一道基礎題．