Question

給出下列命題：
（1）存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=

3

2

；
（2）若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
（3）函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數(shù)；
（4）函數(shù)f（x）=（1+cos2x）sin²x，x∈R，則f（x）是周期為

π

2

的偶函數(shù)．
（5）函數(shù)y=cos(x+

π

3

)的圖象是關(guān)于點(diǎn)(

π

6

，0)成中心對(duì)稱的圖形
其中正確命題的序號(hào)是

 

 （把正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：由于sinx+cosx=

2

 sin(x+

π

4

)，最大值等于

2

，故（1）不正確．
通過舉反例α=390°，β=60°，可得（2）不正確．
由于函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos2x，是偶函數(shù)，故（3）正確．
由于函數(shù)f（x）可化為 

1-cos4x

4

，故周期為

2π

4

=

π

2

，故（4）正確．
由于點(diǎn)(

π

6

，0)是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故是對(duì)稱中心，故（5）正確．

解答：解：由于sinx+cosx=

2

 sin(x+

π

4

)，最大值等于

2

，故（1）不正確．
由于當(dāng)α=390°，β=60° 時(shí)，滿足α，β是第一象限角，且α＞β，但cosα＞cosβ，故（2）不正確．
由于函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos2x，是偶函數(shù)，故（3）正確．
由于函數(shù)f（x）=（1+cos2x）sin²x=（1+cos2x）

1-cos2x

2

=

sin22x

2

=

1-cos4x

4

，周期為

2π

4

=

π

2

，故（4）正確．
由于當(dāng)x=

π

6

 時(shí)，函數(shù)y=cos(x+

π

3

)=0，故點(diǎn)(

π

6

，0)是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故是對(duì)稱中心，故（5）正確．
故答案為3、4、5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正弦公式，余弦函數(shù)的奇偶性，周期性，對(duì)稱性，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式時(shí)間誒體的關(guān)鍵．