Question

若函數f(x)=

a•2x-a-1

2x-1

為奇函數．
（1）求函數的定義域；          
（2）確定實數a的值；
（3）判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）利用函數的成立的條件，求函數的定義域．
（2）利用函數是奇函數，建立方程f（-x）=-f（x），然后求a．
（3）利用函數單調性的定義進行證明．

解答：解：（1）要使函數有意義，則2^x-1≠0，解得x≠0，即函數的定義域為{x|x≠0}．
（2）∵函數是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即

a?2-x-a-1

2-x-1

=-

a?2x-a-1

2x-1

，
∴

a-(a+1)2x

1-2x

=

a?2x-a-1

1-2x

，整理得a-（a+1）2^x=a?2^x-（a+1）恒成立，
∴a=-（a+1），解得a=-

1

2

．
（3）∵a=-

1

2

．
∴f（x）=

- 1 2 ?2x- 1 2

2x-1

=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=-

1

2

?

2x-1+2

2x-1

=-

1

2

-

2

2x-1

．
函數在（0，+∞）上是增函數．
證明：在定義域上任設兩個變量x₁，x₂，設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=

2

2x2-1

-

2

2x1-1

=

2(2x1-2x2)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，2x2-1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區間（0，+∞）上的單調遞增．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，與指數函數有關的定義域，以及函數單調性的判斷和證明，要求熟練掌握函數單調性的定義及證明過程．