Question

已知函數y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期為4的函數，其部分圖象如圖，給出下列命題：
①是奇函數；
②|f（x）|的值域是[1，2）；
③關于x的方程f²（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）必有實根；
④關于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空．
其中正確命題的個數為（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：由函數y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期為4的函數，其部分圖象如圖，知函數y=f（x）是奇函數，|f（x）|的值域是[1，2）；關于x的方程f²（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）等價于：[f（x）-2][f（x）-a]=0，當|a|≥2時，無解；關于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空．
解答：解：∵函數y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期為4的函數，其部分圖象如圖，
∴函數y=f（x）是奇函數，|f（x）|的值域是[1，2），
故①和②都正確；
③關于x的方程f²（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）等價于：
[f（x）-2][f（x）-a]=0，即f（x）=2，或f（x）=a，
∴當|a|≥2時，無解，故③不正確；
④關于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空，正確．
故選B．
點評：本題考查命題的真假判斷及其應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意數形結合思想的合理運用．