Question

【題目】在三棱錐中，，若平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意可求出點P到面ABC的距離為，而三角形ABC為直角三角形，由此可知球心O在面ABC內的射影為AC的中點，設球心O到面ABC的距離為h，根據勾股定理，即可求出h，算出外接球半徑，得到外接球的表面積。

如圖所示，過P作PD垂直AB于D，PA=PB，所以D為AB的中點，因為平面平面，所以PD面ABC，又因為，所以三棱錐外接球的球心在面ABC內的射影為AC的中點，且O，E，D，P四點共面。

過O作OF垂直PD于F，所以四邊形OEDF為矩形。設球心O到面ABC的距離為h，即OE=FD=h，三棱錐外接球的半徑為R。在等腰中，，而 ， ，

故，解得 ，，

表面積。