Question

已知圓C經過坐標原點，且與直線x-y+2=0相切，切點為A（2，4）．
（1）求圓C的方程；
（2）過動點P作圓C和圓D：（x+9）²+（y-1）²=50的切線PM、PN（切點分別為M、N），使得|PM|=|PN|，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得直線AC的方程，可求得OA的垂直平分線的方程，二者聯立即可求得圓心坐標，從而可得圓C的方程；
（2）依題意，點P的軌跡就是CD垂直平分線．
解答：解：（1）設圓C的圓心為C，依題意得直線AC的斜率k_AC=-1，
∴直線AC的方程為y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直線OA的斜率k_OA==2，
∴線段OA的垂直平分線為y-2=-（x-1），即x+2y-5=0．
解方程組得圓心C（7，-1）．
∴圓C的半徑r=|AC|==5，
圓C的方程為（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）∵圓C與圓D兩圓半徑相等，|PM|=|PN|，所以|PC|=|PD|，
∴P在線段CD的中垂線上，
∵C（7，-1），D（-9，1），CD的中點坐標為（-1，0），k_CD=8，
∴CD的中垂線方程為：8x-y+8=0．
∴P的軌跡方程為：8x-y+8=0．
點評：本題考查圓的標準方程，考查直線和圓的方程的應用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．