Question

（08年濰坊市六模） （12分）如圖，正三棱柱的底面邊長為a，點M在邊BC上，△是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．

 

　　（1）求證點M為邊BC的中點；

　　（2）求點C到平面的距離；

　　（3）求二面角的大小．

　

Answer 1

解析：（甲）（1）∵　△為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，∴　且．

　　∵　正三棱柱，　∴　底面ABC．

　　∴　在底面內的射影為CM，AM⊥CM．

　　∵　底面ABC為邊長為a的正三角形，　∴　點M為BC邊的中點．

 

　　（2）過點C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，

　　∴　AM⊥平面　∵　CH在平面內，　∴　CH⊥AM，

　　∴　CH⊥平面，由（1）知，，且．

　　∴　．　∴　．

　　∴　點C到平面的距離為底面邊長為．

　　（3）過點C作CI⊥于I，連HI，　∵　CH⊥平面，

　　∴　HI為CI在平面內的射影，

　　∴　HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

　　在直角三角形中，，

，

　　∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角的大小為45°