Question

【題目】已知圓M：x2+（y﹣4）2=4，點P是直線l：x﹣2y=0上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）當切線PA的長度為 時，求點P的坐標；
（2）若△PAM的外接圓為圓N，試問：當P在直線l上運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，圓M的半徑r=2，M（0，4），設P（2b，b），

∵PA是圓M的一條切線，∴∠MAP=90°，

∴ ，解得 ，

∴P（0，0）或 ．

（2）解：設P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴經過A，P，M三點的圓N以MP為直徑，

其方程為 ，

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，

由 ，解得 或 ，

∴圓過定點（0，4）， ．

（3）解：因為圓N方程為 ，

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，

圓M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

點M到直線AB的距離 ，

相交弦長即： ，

當 時，AB有最小值 ．

【解析】（1）根據圓M的標準方程即可求出半徑r=2和圓心M坐標（0，4），并可設P（2b，b），從而由條件便可求出|MP|= ，這樣便可求出b的值，即得出點P的坐標；（2）容易求出圓N的圓心坐標（b， ），及半徑，從而可得出圓N的標準方程，化簡后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，從而可建立關于x，y的方程，解出x，y，便可得出圓N所過的定點坐標；（3）可寫出圓N和圓M的一般方程，聯立這兩個一般方程即可求出相交弦AB的直線方程，進而求出圓心M到直線AB的距離，從而求出弦長 ，顯然可看出b= 時，AB取最小值，并求出該最小值．