Question

PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC，則異面直線PB與AC所成角等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作圖，分別取PA、AB、BC的中點D、E、F，連結DE、DF、EF、AF，則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補角即為所求，設PA=AB=BC=1，利用勾股定理及余弦定理即可求得cos∠DEF，從而求得∠DEF，根據異面角與其關系即可求得答案．
解答：解：如圖所示：分別取PA、AB、BC的中點D、E、F，連結DE、DF、EF、AF，則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補角即為所求，
不妨設PA=AB=BC=1，∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴△PAB，△ABC均為Rt△，
所以DE=EF=，DF===，
根據c²=a²+b²-2abcosC可得cos∠DEF===-，
所以∠DEF=，
所以PB與AC的夾角為．
故答案為：．
點評：本題考查線面垂直的性質及異面角的求解，異面角的常用求解方法有：①平移法：通過平移直線把空間角轉化為平面角求解，其步驟為：一作、二證、三求；②向量法：轉化為相應直線的方向向量的夾角求解；注意異面角的范圍：（0，]．