Question

拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.今有拋物線y²=2px（p＞0）,一光源在點M（，4）處，由其發出的光線沿平行于拋物線對稱軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點N，再折射后又射回點M（如圖所示）.

(1)設P、Q兩點的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂)，證明：y₁y₂=-p²;

(2)求拋物線的方程；

（3）試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

答案：（1）證明：由拋物線的光學性質及題意知，光線PQ必過拋物線的焦點（,0），設直線方程為y=k(x-).

由

得y²-y-p²=0.

由韋達定理得y₁y₂=-p².

當直線PQ的斜率不存在時，x=,y₁y₂=-p²也成立.

（2）解：因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設M（,4）關于直線l的對稱點為M′（x′,y′），則

解之，得

所以直線QN的方程為y=-1，Q點的縱坐標為y₂=-1，由題意知P點的縱坐標y₁=4.由（1）的結論知y₁y₂=-p²，即p²=4,p=2.

所以拋物線方程為y²=4x.

(3)解：P點的坐標為P（4，4），

由

解得即N（，-1）.

所以直線PN的方程為2x+y-12=0.

設M點關于直線PN的對稱點為M₁（x₁,y₁），則

解之，得

M₁(，-1)的坐標是拋物線y²=4x的解，故拋物線上存在一點（，-1）與點M關于直線PN對稱.