Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分
（1）二階矩陣M對應的變換將向量

1 -1

，

-2 1

分別變換成向量

3 -2

，

-2 1

，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．
（2）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）設M=

a b c d

，則由題知

a b c d

1 -1

=

3 -2

，

a b c d

-2 1

=

-2 -1

所以

a-b=3 c-d=-2 -2a+b=-2 -2c+d=-1

，解得

a=-1 b=-4 c=3 d=5

，所以M=

-1 -4 3 5

．
設點P（x，y）是直線l上任一點，在M變換下對應的點為P′（x₀，y₀），
那么

-1 -4 3 5

x y

=

x0 y0

即

x0=-x-4y y0=3x+5y

．
因為2x₀-y₀-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直線l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直線的參數(shù)方程為

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

t為參數(shù)），
曲線

x=s+ 1 s y=s- 1 s

s為參數(shù)）可以化為x²-y²=4．
將直線的參數(shù)方程代入上式，得t2-6

3

t+10=0．
設A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

17

．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數(shù)的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．