Question

已知函數f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數y=f（x）（x∈[t，4]）的值域為區間D，是否存在常數t，使區間D的長度為7-2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，請說明理由（注：區間[p，q]的長度為q-p）．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）在[-1，1]上單調遞減函數，要存在零點只需f（1）≤0，f（-1）≥0即可
（2）存在性問題，只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集即可
（3）研究函數y=f（x）（x∈[t，4]）的值域，需要對t進行討論，研究單調性

解答：解：（Ⅰ）：因為函數f（x）=x²-4x+a+3的對稱軸是x=2，
所以f（x）在區間[-1，1]上是減函數，
因為函數在區間[-1，1]上存在零點，
則必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0，
故所求實數a的取值范圍為[-8，0]．
（Ⅱ）若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，
使f（x₁）=g（x₂）成立，只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域為[-1，3]，下求g（x）=mx+5-2m的值域．
①當m=0時，g（x）=5-2m為常數，不符合題意舍去；
②當m＞0時，g（x）的值域為[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③當m＜0時，g（x）的值域為[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3；
綜上，m的取值范圍為（-∞，-3]∪[6，+∞）
（Ⅲ）由題意知

t＜4 7-2t＞0

，可得t＜

7

2

．
①當t≤0時，在區間[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
所以f（t）-f（2）=7-2t即t²-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
②當0＜t≤2時，在區間[t，4]上，f（4）最大，f（2）最小，
所以f（4）-f（2）=7-2t即4=7-2t，解得t=

3

2

；
③當2＜t＜

7

2

時，在區間[t，4]上，f（4）最大，f（t）最小，
所以f（4）-f（t）=7-2t即t²-6t+7=0，解得t=3±

2

（舍去）
綜上所述，存在常數t滿足題意，t=-1或

3

2

．

點評：本題綜合考查了函數的零點，值域與恒成立問題．