Question

現有若干顆形狀完全相同的玻璃球，已知其中一顆略重，其余各顆重量均相同，要求
使用天平（不用砝碼）將略重的那顆玻璃球找出來．小龍的方案是：首先任取兩顆放在天平的兩側進行稱量，若天平不平衡，則重的那邊為略重的那顆玻璃球，若天平平衡，則兩顆都取下，從剩下的玻璃球中再任取兩顆放在天平兩側進行稱量，如此進行下去，直到找到那顆略重的玻璃球為止．若小龍恰好在第一次就找出略重的那顆玻璃球的概率為

2

7

．
（1）請問共有多少顆玻璃球？
（2）設ξ為找到略重的那顆玻璃球時已稱量的次數，求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據小龍恰好在第一次就找出略重的那顆玻璃球的概率為

2

7

，建立方程，可求玻璃球的個數；
（2）確定ξ的取值可以為1，2，3，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望．

解答：解：（1）設共有n顆玻璃球，則

C 1 n-1

C 2 n

=

2

7

，∴n=7
（2）ξ的取值可以為1，2，3，則
P（ξ=1）=

C 1 6

C 2 7

=

2

7

，P（ξ=2）=

C 2 6

C 2 7

×

C 1 4

C 2 5

=

2

7

，P（ξ=3）=

C 2 6

C 2 7

×

C 2 4

C 2 5

×

C 1 3

C 2 3

=

3

7

∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	2 7	2 7	3 7

數學期望Eξ=1×

2

7

+2×

2

7

+3×

3

7

=

15

7

．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，解題的關鍵是確定變量的取值，正確求出概率．