Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的三邊．
（1）若a=b，sinB=sin（A+60°），求角A；
（2）若BC=2

3

，A=

π

3

，設(shè)B=x，△ABC的面積為y，求函數(shù)y=f（x）的關(guān)系式及其最值，并確定此時x的值．

Answer 1

分析：（1）由a=b，根據(jù)正弦定理得到sinA等于sinB，又sinB=sin（A+60°），得到sinA=sin（A+60°），利用兩角和的正弦函數(shù)公式把等式的右邊化簡后，移項合并，繼續(xù)利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)等于0，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)正弦定理，由BC=2

3

，A=

π

3

，設(shè)B=x，即可表示出AC的長度，同理表示出AB的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式表示出y與x的關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍，得到x的范圍，根據(jù)x的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出f（x）的最大值，進而得到f（x）無最小值．

解答：解：（1）由a=b得：
sinA=sinB=sin(A+60°)=

1

2

sinA+

3

2

cosA，
即

1

2

sinA-

3

2

cosA=sin（A-60°）=0，又0＜A＜π，
∴A=60°；
（2）∵

AC

sinx

=

BC

sinA

，
∴AC=

BC

sin π 3

•sinx=

2 3

3 2

•sinx=4sinx．
同理：AB=

BC

sinA

•sinC=4sin(

2π

3

-x)．
∴y=

1

2

•4sinx•4sin(

2π

3

-x)sinA=4

3

sinxsin(

2π

3

-x)=6sinxcosx+2

3

sin2x=3sin2x-

3

cos2x+

3

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

，
∵A=

π

3

，∴0＜x＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）有最大值3

3

．
因此，當(dāng)x=

π

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值3

3

．無最小值

點評：此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道中檔題．