Question

為了尋找馬航殘骸,我國“雪龍號”科考船于2014年3月26日從港口出發，沿北偏東角的射線方向航行，而在港口北偏東角的方向上有一個給科考船補給物資的小島，海里，且.現指揮部需要緊急征調位于港口正東海里的處的補給船，速往小島裝上補給物資供給科考船．該船沿方向全速追趕科考船，并在處相遇．經測算當兩船運行的航線與海岸線圍成的三角形的面積最小時，這種補給方案最優.

（1）求關于的函數關系式；
（2）應征調位于港口正東多少海里處的補給船只，補給方案最優？

Answer 1

（1）；（2）1400．

試題分析：（1）本題已知條件可以理解為是固定的，點也是不變，直線過點，要求面積的最小值，根據已知條件，我們用解析法來解題，以為坐標原點，向東方向為正半軸，向北方向為軸正半軸，建立直角坐標系，則可得直線的方程為，點坐標為，又有點坐標為，可得直線方程，它與直線的交點的坐標可解得，而，這樣要求的表達式就可得；（2）在（1）基礎上，，其最小值求法，把分式的分子分母同時除以，得，分母是關于的二次函數，最值易求.
試題解析：（1）以O點為原點，正北的方向為y軸正方向建立直角坐標系， （1分）
則直線OZ的方程為，設點A（x₀，y₀），則，，即A（900，600），                （3分）
又B（m，0），則直線AB的方程為：，   （4分）
由此得到C點坐標為：， （6分）
  （8分）

（2）由（1）知  （10分）
  （12分）
所以當，即時，最小，
（或令，則
，當且僅當時，最小）
∴征調海里處的船只時，補給方案最優.        （14分）