Question

已知P是拋物線y²=2x上的一個動點，過點P作圓（x-3）²+y²=1的切線，切點分別為M，N，則|MN|的最小值是

4 5

5

．

Answer 1

分析：根據題意，利用等面積可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

，所以當|PO₁|最小時，|MN|取最小值，故可求．

解答：解：設圓心為O₁（3，0），PO₁與MN交于E，則|PO₁|²=|PM|²+1，
由等面積可知：|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

∴當|PO₁|最小時，|MN|取最小值，|PO₁|=

(x-3)2+y2

=

(x-3)2+2x

=

(x-2)2+5

∴當x=2時，|PO₁|有最小值

5

，
∴|MN|最小值是|MN|═2

1- 1 |PO|2

=

4 5

5

故答案為：

4 5

5

點評：本題重點考查圓與拋物線的綜合，考查距離最小值的求解，解題的關鍵是利用等面積可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2