Question

（12分）正方形ABCD邊長為4，點E是邊CD上的一點，
將AED沿AE折起到的位置時，有平面 平面ABCE，
并且（如圖）
（I）判斷并證明E點的具體位置；（II）求點D^/到平面ABCE的距離．

Answer 1

（I）略   （II）

（I）連結AC、BD交于點O，再連DD，由BDAC，且平面ACD平面ABCE于AC，∴BD平面ACD，故CDBD，又CDBD，∴CD平面BDD，即得CDDD，在Rt△CDD中，由于ED=ED，∴∠EDD=∠EDD，
則∠ECD=90⁰EDD=90⁰EDD=∠EDC，∴EC=ED=ED，
即E點為邊CD的中點． …………………6分
  （II）方法一：如圖取OC的中點M，連結DM、EM，
則EM//BD，得EM平面ACD，
即∠EMD=90⁰，又因為DE=2，EM=，
則DM=，又ADEM，∵ADDE，
∴ ADDE，∴AD平面EMD，
則ADDM，在Rt△AMD中，AD=4，AM=，DM=，
過D作DHAM于H點，則DH平面ABCE，
由于DH=，此即得點D到平面ABCE的距離．
方法二：如圖, 連結OD，∵CD平面BDD， 
∴CDOD，
在△ADC中，設OD，
則∵OC，∴CD=，
∵∠AOD與∠DOC互補，
由余弦定理得，
解得，在直角三角形ODC中， 
由面積公式得所求距離為．
方法三：能用最小角定理幫助解△ADC，
即，其中
可求．
另解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），
A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），
設E（0，，0），D（），
設DH平面ABCE于H點，則H在AC上，
∴H的坐標為（，0），依題意有：
，，，，
∵，
∴，，
∴，
，∴，
，∴
由與兩式相減，
將代入得，從而有，
即E為CD中點，點D到平面ABCE的距離是． …………………12分