Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函數f（x）的單調區間，即求函數f（x）的f′（x），在根據導數與單調性的關系求解即可
（Ⅱ）要使函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根即可
（Ⅲ）要求對任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求當x∈[-2，2]時f（x）_max≤1，即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a²在a∈[3，6]的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax-a²=3(x-

a

3

)(x+a)
當a=0時f′（x）≥0
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）
當a＞0時
由f′（x）＞0得x＜-a或x＞

a

3

，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a），(

a

3

，+∞)，
單調遞減區間為(-a，

a

3

)
（Ⅱ）當a=0時由（1）知函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，
則f（x）在[-1，1]上沒有極值點；
當a＞0時∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
由（1）知f（x）在(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)上單調遞增，
在(-a，

a

3

)上單調遞減；則要f（x）在[-1，1]上沒有極值點，
則只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根．∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得a≥3
綜上述可知：a的取值范圍為[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴

a

3

∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的單調性質知f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a²的最小值為-87
∴m≤-87
故答案為（Ⅰ）當a=0時f′（x）≥0，
函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），
當a＞0時函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
單調遞減區間為(-a，

a

3

)，
（Ⅱ）a的取值范圍為：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范圍為：m≤-87．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，函數在某點取得極值的條件，還考查了變量分離的思想方法，屬于基礎題．