Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對任意，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）。

【解析】

試題分析：（1），由于，且，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，或，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，或；所以時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，；時(shí)，增區(qū)間為，，增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，若對任意，恒成立，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，，由第（1）問討論可知，當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減，所以

，所以問題轉(zhuǎn)化為，，當(dāng) 時(shí)，對于，，單調(diào)遞增，，不合題意，故不成立；當(dāng)時(shí)，令得，，分當(dāng)，即 時(shí)，當(dāng)，即 時(shí)兩種情況討論。考查分類討論能力。

試題解析：（1） 定義域?yàn)镽， ，

①當(dāng) 時(shí)，對于，單調(diào)遞減，對于， 單調(diào)遞增；

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是， 單調(diào)減區(qū)間是

②當(dāng)時(shí)，對于，單調(diào)遞增，對于， 單調(diào)遞減；

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

（2）依題意，當(dāng) 時(shí)，對于 有

由（1）知，函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，， 即：，

所以應(yīng)有：

,

① 時(shí)，對于，，單調(diào)遞增，

，不合題意，故不成立；

②當(dāng)時(shí)，令得，

（ⅰ）當(dāng)，即 時(shí)，在上，，所以

由得 ，所以

（ⅱ）當(dāng)，即 時(shí)，在 上，在上，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由得 ，所以 ,綜上：的取值范圍是