Question

已知數列a₁，a₂，…a_n，…和數列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常數，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
設想bn=q(pn-1+pn-2r++rn-1)=

q(pn-rn)

p-r

.
用數學歸納法證明：
當n=2時，b2=q(p+r)=

q(p2-r2)

p-r

，等式成立；
設當n=k時，等式成立，即bk=

q(pk-rk)

p-r

，
則b_k+1=qa_k+rb_k=qpk+

rq(pk-rk)

p-r

=

q(pk+1-rk+1)

p-r

，
即n=k+1時等式也成立，
所以對于一切自然數n≥2，bn=

q(pn-rn)

p-r

都成立．