Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……
（1）若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N﹡，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{ a_n }的通項公式.
（2）證明：數(shù)列{ a_n }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.

Answer 1

（1）
（2）見解析

解（１）對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即
故數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.于是
（Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對任意，有
由知，均大于０，于是


即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.
（２）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，
則，
于是得即
由有即，從而.
因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.
【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.