Question

已知半徑為R的得球面上有三點A，B，C，已知AB，AC之間球面距離都是

πR

2

，BC間的球面距離為

πR

3

，過A，B，C三點作球的截面，則球心到此截面的距離為（　　）

• A．

  21 R

  7

• B．

  7 R

  21

• C．

  7 R

  3

• D．

  3 R

  7

Answer 1

分析：根據球面距離的定義先求出∠AOB、∠BOC的大小，欲求球心O到截面ABC的距離，可設截面圓的圓心為O₁，可通過解直角三角形AOO₁解決．

解答：解：如圖，因為球O的半徑為R，B、C兩點間的球面距離為

πR

3

，
點A與B、C兩點間的球面距離均為

πR

2

，所以∠BOC=

π

3

，∠AOB=∠AOC=

π

2

．
∴BC=R，AC=AB=

2

R，
∴由余弦定理得cos∠BAC=

2R2+2R2-R2

2×2R×R

=

3

4

，
∴sin∠BAC

7

4

，
設截面圓的圓心為O₁，連接AO₁，
則截面圓的半徑R=AO₁，由正弦定理得r=

BC

2sin∠BAC

=

R

2× 7 4

=

2 7

7

R，
所以OO₁=

OA2-r2

=

R2-( 2 7 7 R)2

=

21 R

7

．
故選A．

點評：本題主要考查了球的性質、正弦定理解三角形以及點面間的距離計算，屬于中檔題．