Question

已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c在x=與x=1時都取得極值.
(1)求a、b的值與函數f(x)的單調區間;
(2)若對,不等式f(x)<c²恒成立,求c的取值范圍.

Answer 1

（1）遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥），遞減區間是（－，1）；
（2）c<－1或c>2.

本試題主要考查了導數在函數中的運用。
解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（－¥，－）	－	（－，1）	1	（1，＋¥）
f¢（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）	­	極大值	¯	極小值	­

所以函數f（x）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥），遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c，解得c<－1或c>2