Question

【題目】某農場預算用5600元購買單價為50元（每噸）的鉀肥和20元（每噸）的氮肥，希望使兩種肥料的總數量（噸）盡可能的多，但氮肥數不少于鉀肥數，且不多于鉀肥數的1.5倍．
（Ⅰ）設買鉀肥x噸，買氮肥y噸，按題意列出約束條件、畫出可行域，并求鉀肥、氮肥各買多少才行？
（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐標原點，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域內，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設肥料總數為z，z=x+y，
由題意得約束條件 ，即
畫出可行域（如圖）
目標函數：z=x+y，即y=﹣x+z，
表示斜率為﹣1，y軸上截距為z的平行直線系．
當直線過點N時，z最大．
聯立方程 ，解得N（70，105）
此時zmax=x+y=70+105=175．
∴購買鉀肥70噸，氮肥105噸時，兩種肥料的總數量最大為175噸
（Ⅱ） ， ，θ為 的夾角，∴s=10cosθ．有圖可知：
當點P在線段OM時，cosθ最大為 ，此時s最大值為 ；
當點P在線段ON時，cosθ最小為 ，此時s最小值為 ．
∴
另解： ， ，
代入可得
【解析】（Ⅰ）設肥料總數為z，z=x+y，列出約束條件，畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求解最值．（Ⅱ）利用向量的數量積，化簡目標函數，通過可行域，判斷s的最值即可．另解轉化目標函數為直線的斜率，求解即可．