Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，斜率為1的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2) 為橢圓上任意一點(diǎn)，若，求的最大值和最小值.

(3)求的面積.

Answer 1

【答案】(1) (2) 最大值為1和最小值為（3）

【解析】試題分析：（1）由離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)，易得方程；

（2）設(shè)則直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立由得的范圍，又，即可得解；

（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，從而由的斜率，解得，進(jìn)而得，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離求得，利用求解即可.

試題解析：

(1)由已知得， ，

解得，又，

所以橢圓的方程為.

(2)設(shè)則直線(xiàn)的方程為，則.

由，得①

， 的最大值為1和最小值為.

(3)設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由，得①

設(shè)的坐標(biāo)分別為， ， 中點(diǎn)為，

則， ，

因?yàn)?/span>是等腰的底邊，所以，

所以的斜率，

解得，此時(shí)方程①為，

解得， ，所以， ，

所以，此時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

，所以的面積.