Question

（2012•福建模擬）（1）選修4-2：矩陣與變換
已知向量

1 -1

在矩陣M=

1 m 0 1

變換下得到的向量是

0 -1

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y²-x+y=0在矩陣M^-1對應的線性變換作用下得到的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標與參數方程
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點M的極坐標為(4

2

，

π

4

)，曲線C的參數方程為

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數）．
（Ⅰ）求直線OM的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點M到曲線C上的點的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
設實數a，b滿足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）由條件求得

1-m -1

=

0 -1

，從而求得m 的值．
（Ⅱ）先求得，M-1=

1 -1 0 1

，設曲線y²-x+y=0上任意一點（x，y）在矩陣M^-1所對應的線性變換作用下的像是（x'，y'），由矩陣變換的法則得

x=x′+y′ y=y′

代入曲線y²-x+y=0得y'²=x'，由此得出結論．
（2）（Ⅰ）由點M的極坐標為(4

2

，

π

4

)得點M的直角坐標為（4，4），由此求得直線OM的直角坐標方程．
（Ⅱ）由曲線C的參數方程化為普通方程，可得表示一個圓，求出M到圓心的距離，減去半徑，即得所求．
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得|6-b|=2|a|．不等式化為3|a|＜3，即|a|＜1，從而解得a的取值范圍．
（Ⅱ）由 a，b＞0，且z=a²b，利用平均值不等式求得z的最大值．

解答：（1）解：（Ⅰ）因為

1 m 0 1

1 -1

=

1-m -1

，
所以，

1-m -1

=

0 -1

，即m=1．…（3分）
（Ⅱ）因為M=

1 1 0 1

，所以M-1=

1 -1 0 1

．…（4分）
設曲線y²-x+y=0上任意一點（x，y）在矩陣M^-1所對應的線性變換作用下的像是（x'，y'）．
由

x′ y′

=

1 -1 0 1

x y

=

x-y y

，…（5分）
所以

x-y=x′ y=y′

得

x=x′+y′ y=y′

代入曲線y²-x+y=0得y'²=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲線y²-x+y=0在矩陣M^-1對應的線性變換作用下的曲線方程為y²=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由點M的極坐標為(4

2

，

π

4

)得點M的直角坐標為（4，4），
所以直線OM的直角坐標方程為y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲線C的參數方程

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數）
化為普通方程為（x-1）²+y²=2，…（5分）
圓心為A（1，0），半徑為r=

2

．
由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離最小值為MA-r=5-

2

．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化為3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范圍-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因為a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(

a+a+b

3

)3=(

2a+b

3

)3=33=27，…（6分）
當且僅當a=b=3時，等號成立．
故z的最大值為27．…（7分）

點評：本小題主要考查矩陣與變換等基礎知識；考查參數方程、極坐標方程等基礎知識；考查絕對不等式、不等式證明等基礎知識．考查數形結合思想考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．