Question

某科技公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一個產(chǎn)品增加投資100元，已知總收益滿足函數(shù)R(x)＝(其中x是產(chǎn)品的月產(chǎn)量)，求每月生產(chǎn)多少個產(chǎn)品時該科技公司的利潤最大？最大利潤是多少？(注：總收益＝總成本＋利潤)

Answer 1

答案：
解析：

答：當(dāng)每月生產(chǎn)300個產(chǎn)品時，該科技公司獲得的利潤最大，此時，獲得的最大利潤為25 000元． 　　分析：如果每月的產(chǎn)量為x個，根據(jù)題意，生產(chǎn)的成本滿足函數(shù)g(x)＝20 000＋100x，因此，公司所獲得的利潤滿足函數(shù)f(x)＝R(x)－g(x)． 　　解：設(shè)科技公司的月產(chǎn)量為x個，則總成本為20 000＋100x元，所以總利潤為 　　f(x)＝ 　　當(dāng)0≤x≤400時，f(x)＝x2＋300x－20 000，此時，函數(shù)f(x)＝x2＋300x－20 000的對稱軸為x＝300∈[0，400]，所以當(dāng)x＝300時，f(x)max＝25 000； 　　當(dāng)x＞400時，f(x)＜60 000－100×400＜25 000． 　　綜上所述，當(dāng)x＝300時，函數(shù)f(x)的最大值為25 000． 　　點評：這是一個分段函數(shù)求最值的問題．求解這類問題時應(yīng)該先分別求出各段上的最值，然后再比較各段上的最值，最終得到函數(shù)在定義域上的最值，從而得到符合題意的解．